Pengujian Hipotesis

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Dalam sebuah pengambilan keputusan, seringkali seseorang bingung dengan apa yang harus dilakukan. Untuk menghilangkan keraguan tersebut, dibutuhkan sumber-sumber atau dasar-dasar pengambilan keputusan. Dasar-dasar pengambilan keputusan tersebut, salah satunya adalah dengan pengujian hipotesis seperti yang tercantum dalam makalah ini.

Sehingga keraguan atau ketidakyakinan dalam pengambilan keputusan tersebut dapat dihindari. Tentunya dengan dengan mempertimbangkan terlebih dahulu pilihan dari keputusan yang akan dipillih. Apakah keputusan yang diambil positif ataupun negatif bagi kita maupun orang lain.

Akan tetapi pengujian hipotesis tidak selamanya akan selalu benar. Karena pengujian tersebut hanya sebuah dasar pertimbanga saja. Adapun cara dan langkah-langkahnya akan di ulas dalam makalah ini.

1.2  Rumusan Masalah

1.      Apa pengertian pengujian hipotesis?

2.      Bagaimana prosedur pengujian hipotesis?

3.      Apa saja jenis-jenis pengujian hipotesis?

4.      Bagaimana pengujian hipotesis rata-rata?

5.      Bagaimana pengujian hipotesis proporsi?

6.      Apa saja kesalahan dalam pengujian hipotesis?

7.      Bagaimana pengujian hipotesis dengan Ratio Varian?

8.      Bagaimana pengujian hipotesis dengan Chi Kuadrat?

1.3  Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui bagaimana cara mengambil sebuah keputusan dengan melakukan sebuah pengujian apakah dampak dari sebuah keputusan yang akan diambil adalah positif atau negatif, dan langkah pengujian tersebut disebut dengan “pengujian hipotesis”.

Menambah wawasan tentang apa yang dimaksud dengan pengujian hipotesis dan bagaimana cara mengaplikasikannya dalam dunia nyata.

                  

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Pengujian Hipotesis

Dilihat dari penggalan katanya. Kata “hupo” yang artinya “sementara atau lemah keberadaannya” dan “thesis” yang artinya “pernyataan atau teori”. Hipotesis pada dasarnya merupakan proposisi atau anggapan yang mungkin benar, dan sering digunakan sebagai dasar pembuatan suatu keputusan/ pemecahan persoalan ataupun dasar penelitian lebih lanjut. Anggapan suatu hipotesis juga merupakan sebagai data. Akan tetapi kemungkinan bisa salah, apabila digunakan sebagi dasar pembuatan keputusan harus terlebih dahulu diuji dengan menggunakan data hasil observasi.

Pengujian Hipotesis adalah suatu prosedur yang dilakukan dengan tujuan memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis itu. Dalam pengujian hipotesis, keputusan yang di buat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan biasa benar atau salah, sehingga menimbulkan risiko.

2.2 Prosedur Pengujian Hipotesis

Prosedur pengujian hipotesis statistik adalah langkah-langkah yang di pergunakan dalam menyelesaikan pengujian hipotesis tersebut. Berikut ini langkah-langkah pengujian hipotesis statistik.

1.      Menentukan  Formulasi Hipotesis

Formulasi atau perumusan hipotesis statistic dapat di bedakan atas dua jenis, yaitu sebagai berikut;

a.       Hipotesis nol / nihil (H_O)

Hipotesis nol adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan di uji. Hipotesis nol tidak memiliki perbedaan atau perbedaannya nol dengan hipotesis sebenarnya.

b.      Hipotesis alternatif/ tandingan (H₁ / H_a)

Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang di rumuskan sebagai lawan atau tandingan dari hipotesis nol. Dalam menyusun hipotesis alternatif, timbul 3 keadaan berikut.

1. H₁ menyatakan bahwa harga parameter lebih besar dari pada harga yang di hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan.

2. H₁ menyatakan bahwa harga parameter lebih kecil dari pada harga yang di hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu pengujian sisi atau arah kiri.

3. H₁ menyatakan bahwa harga parameter tidak sama dengan harga yang di hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian dua sisi atau dua arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan dan kiri sekaligus.

Secara umum, formulasi hipotesis dapat di tuliskan :

·         H_{0 :} θ = θ₀

·         H₁ : θ > θ₀

·         H₁ : θ < θ₀

·         H₁ : θ ≠ θ₀

Apabila hipotesis nol diterima (benar) maka hipotesis alternatif ditolak. Demikian pula sebaliknya, jika hipotesis alternatif diterima (benar) maka hipotesis nol ditolak.

2.      Menentukan Taraf Nyata (α)

Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Semakin tinggi taraf nyata yang di gunakan, semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang di uji, padahal hipotesis nol benar.

Besaran yang sering di gunakan untuk menentukan taraf nyata dinyatakan dalam %, yaitu: 1% (0,01), 5% (0,05), 10% (0,1), sehingga secara umum taraf nyata di tuliskan sebagai α_0,01, α_0,05, α_0,1. Besarnya nilai α bergantung pada keberanian pembuat keputusan yang dalam hal ini berapa besarnya kesalahan (yang menyebabkan resiko) yang akan di tolerir. Besarnya kesalahan tersebut di sebut sebagai daerah kritis pengujian (critical region of a test) atau daerah penolakan (region of rejection).

Nilai α yang dipakai sebagai taraf nyata di gunakan untuk menentukan nilai distribusi yang di gunakan pada pengujian, misalnya distribusi normal (Z), distribusi t, dan distribusi X². Nilai itu sudah di sediakan dalam bentuk tabel di sebut nilai kritis.

3.      Menentukan Kriteria Pengujian

Kriteria Pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol (H_o) dengan cara membandingkan nilai α tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujiannya. Yang di maksud dengan bentuk pengujian adalah sisi atau arah pengujian.

a.         Penerimaan H_o terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di luar nilai kritis.

b.         Penolakan H_o terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di luar nilai kritis.

Dalam bentuk gambar, kriteria pengujian seperti gambar di bawah ini :

                                             Daerah tolak               Daerah tolak                  daerah tolak     

         terima                               terima                          terima

                            krisis                                      krisis                              krisis   

4.      Menentukan Nilai Uji Statistik

Uji statistik merupakan rumus-rumus yang berhubungan dengan distribusi tertentu dalam pengujian hipotesis. Uji statistik merupakan perhitungan untuk menduga parameter data sampel yang di ambil secara random dari sebuah populasi. Misalkan, akan di uji parameter populasi (P), maka yang pertama-tam di hitung adalah statistik sampel (S).

5.      Membuat Kesimpulan

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol (H_o) yang sesuai dengan kriteria pengujiaanya. Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji statistik dengan nilai α tabel atau nilai kritis.

a.       Penerimaan H_o terjadi jika nilai uji statistik berada di luar nilai kritisnya.

b.      Penolakan H_o terjadi jika nilai uji statistik berada di dalam nilai kritisnya.

Kelima langkah pengujian hipotesis tersebut diringkas sebagai berikut :

·         Langkah 1 : menentukan formulasi hipotesis nol (H₀) dan hipotesis alternatifnya (H₁)

·         Langkah 2 : memilih suatu taraf nyata (α) dan menentukan nilai tabel

·         Langkah 3 : membuat kriteria berupa penerimaan dan penolakan H₀

·         Langkah 4 : melakukan uji statistik

·         Langkah 5: membuat kesimpulannya dalam hal penerimaan dan penolakan H₀

2.3  Jenis – Jenis Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis dapat dibedakan atas beberapa jenis berdasarkan kriteria yang menyertainya.

1) Berdasarkan Jenis Parameternya

Didasarkan atas jenis parameter yang digunakan, pengujian hipotesis dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu sebagai berikut:

·         Pengujian Hipotesis tentang Rata Rata

Pengujian hipotesis mengenai rata rata poplasi yang didasarkan atas informasi sampelnya.

Contoh :

ü  Pengujian hipotesis satu rata rata

ü  Pengujian hipotesis beda dua rata rata

ü  Pengujian hipotesis beda tiga rata rata

·         Pengujian Hipotesis tentang Proporsi

Pengujian hipotesis mengenai proporsi populasi yang didasarkan atas informasi (data) sampelnya.

Contoh :

ü  Pengujian hipotesis satu proporsi

ü  Pengujian hipotesis beda dua proporsi

ü  Pengujian hipotesis beda tiga proporsi

·         Pengujian Hipotesis tentang Varians

Pengujian hipotesis mengenai varians populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya.

Contoh :

ü  Pengujian hipotesis tentang satu varians

ü  Pengujian hipotesis tentang kesamaan dua varians

2) Berdasarkan Jumlah Sampelnya

Didasarkan atas ukuran sampelnya, pengujian hipotesis dapat dibedakan atas dua jenis, yaitu sebagai berikut :

·         Pengujian Hipotesis Sampel Besar

Pengujian hipotesis yang menggunakan sampel lebih besar dari 30

·         Pengujian Hipotesis Sampel Kecil

Pengujian hipotesis yang menggunakan sampel lebih kecil atau sama dengan 30

 3) Berdasarkan Jenis Distribusinya

Berdasarkan atas jenis distribusi yang digunakan, pengujian hipotesis dibedakan atas empat jenis, yaitu sebagai berikut :

·         Pengujian Hipotesis dengan Distribusi Z

Pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi Z sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebuttabel normal standar. Hasil uji statistik ini kemudian dibandingkan dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol (H0) yang dikemukakan.

Contoh :

ü  Pengujian hipotesis satu dan beda dua rata rata sampel besar

ü  Pengujian hipotesis beda dua proporsi

·         Pengujian Hipotesis dengan Distribusi t (t-student)

Pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t sebagai uji statistik. Tabelnya disebut tabel t-student. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabelnya untuk menerima atau menolak hipotesis nol yang dikemukan.

Contoh :

ü  Pengujian hipotesis rata rata (satu dan beda dua rata rata) sampel kecil.

·         Pengujian Hipotesis dengan Distribusi X² (kai kuadrat)

Pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi sebagai uji statistik. Tabelnya disebut tabel . Hasil uji statistik kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabelnya untuk menerima atau menolak hipotesis nol yang dikemukakan,

Contoh :

ü  Pengujian hipotesis beda tiga proporsi

ü  Pengujian hipotesis independensi

ü  Pengujian hipotesis kompabilitas

·         Pengujian Hipotesis dengan Distribusi F (F-ratio)

Pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi F (F-ratio). Tebel pengujiannya disebut tabel F. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol yang dikemukakan.

Contoh :

ü  Pengujian hipotesis beda tiga rata rata

ü  Pengujian hipoesis kesamaan dua varians 

4) Berdasarkan Arah atau Bentuk Formulasi Hipotesisnya

Didasarkan atas arah atau bentuk formulasi hipotesisnya, pengujian hipotesis dibedakan atas tiga jenis, yaitu sebagai berikut:

·         Pengujian hipotesis dua pihak (two tail test)

Pengujian hipotesis dimana hipotesis nol (H0) berbunyi “sama dengan” dan hipotesis alternatifnya (H1) berbunyi “tidak sama dengan” (H0 = dan H1 ≠).

·         Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri

Pengujian hipotesis dimana hipotesis nol (H0) berbunyi “sama dengan” atau “lebih besar atau sama dengan” dan alternatifnya (H1) berbunyi “lebih kecil” atau “lebih kecil atau sama dengan” (H0 = atau H0 dan H1 atau H1 ). Kalimat “lebih kecil” atau “sama dengan” sinonim dengan kata “paling sedikit” atau “paling kecil”.

·         Pengujian hipotesis pihak kanan atau arah kanan

Pengujian hipotesis dimana hipotesis nol (H0) berbunyi “sama dengan” atau “lebih kecil atau sama dengan” dan alternatifnya (H1) berbunyi “lebih besar” atau “lebih besar atau sama dengan” (H0 = atau H0 dan H1 atau H1 ). Kalimat “lebih besar” atau “sama dengan” sinonim dengan kata “paling banyak” atau “paling besar”.

2.4  Pengujian Hipotesis Rata-Rata

Pengujian Hipotesis Satu Rata-Rata

1.      Sampel besar ( n > 30 )

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sample besar (n > 30), uji statistiknya menggunakan distribusi Z. Prosedur pengujian hipotesisnya adalah sebagai berikut.

Formulasi hipotesis :

1.         H_o : µ = µ_o

H₁ : µ > µ_o

2.         H_o : µ = µ_o

H₁ : µ < µ_o

3.         H_o : µ = µ_o

H₁ : µ ≠ µ_o

·       Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z table (Z_α) Menentukan nilai α sesuai soal, kemudian nilai Z_α atau Z_α/2ditentukan dari tabel.

·       Kriteria Pengujian

Untuk H_o : µ = µ_o dan H₁ : µ > µ_o

·         H_o di terima jika Z_o ≤ Z_α

·         H_o di tolak jika Z_o > Z_α

Untuk H_o : µ = µ_o dan H₁ : µ < µ_o

·         H_o di terima jika Z_o ≥ – Z_α

·         H_o di tolak jika Z_o < – Z_α

Untuk H_o : µ = µ_o dan H₁ : µ ≠ µ_o

·         H_o di terima jika –  Z_α/2  ≤  Z_o ≤ Z_α/2

·         H_o di tolak jika Z_o > Z_α/2 atau Z_o < – Z_α/2

Uji Statistik :

a.       Simpangan baku populasi ( σ ) di ketahui : 

 

b.      Simpangan baku populasi ( σ ) tidak di ketahui :

Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H_o (sesuai dengan kriteria pengujiannya).

a) Jika H₀ diterima maka H₁ di tolak

b) Jika H₀ di tolak maka H₁ di terima

Contoh Soal :

Suatu pabrik susu merek Good Milk melakukan pengecekan terhadap produk mereka, apakah rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang di produksi dan di pasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih kecil dari itu. Dari data sebelumnya di ketahui bahwa simpangan baku bersih per kaleng sama dengan 125 gram. Dari sample 50 kaleng yang di teliti, di peroleh rata-rata berat bersih 375 gram. Dapatkah di terima bahwa berat bersih rata-rata yang di pasarkan tetap 400 gram? Ujilah dengan taraf nyata 5 % !

Penyelesaian :

Diketahui :

n = 50, X = 375, σ = 125, µ_o = 400

Jawab :

Formulasi hipotesisnya :

H_o : µ = 400

H₁ : µ < 400

Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

α  = 5% = 0,05

Z_0,05  = -1,64 (pengujian sisi kiri)

Kriteria pengujian :

·         H_o di terima jika Z_o ≥ – 1,64

·         H_o di tolak jika Z_o < – 1,64

Uji Statistik

Kesimpulan :

Karena Z_o = -1,41 ≥ – Z_0,05 = – 1,64 maka H_o di terima. Jadi, berat bersih rata-rata susu bubuk merek GOOD MILK per kaleng yang di pasarkan sama dengan 400 gram.

2.      Sampel Kecil (n ≤ 30)

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel kecil (n ≤ 30), uji statistiknya menggunakan distribusi t. Prosedur pengujian hipotesisnya adalah sebagai berikut :

·       Formulasi hipotesis

1.      H_o : µ = µ_o

H₁ : µ > µ_o

2.      H_o : µ = µ_o

H₁ : µ < µ_o

3.      H_o : µ = µ_o

H₁ : µ ≠ µ_o

·       Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai t- tabel : Menentukan nilai α sesuai soal, kemudian menentukan derajat bebas, yaitu db = n – 1, lalu menentukan nilai t_α;n-1 atau t_α/2;n-1ditentukan dari tabel.

·       Kriteria Pengujian

Untuk H_o : µ = µ_o dan H₁ : µ > µ_o

·         H_o di terima jika t_o ≤ t_α

·         H_o di tolak jika t_o > t_α

Untuk H_o : µ = µ_o dan H₁ : µ < µ_o

·         H_o di terima jika t_o ≥ – t_α

·         H_o di tolak jika t_o < – t_α

Untuk H_o : µ = µ_o dan H₁ : µ ≠ µ_o

·         H_o di terima jika –  t_α/2  ≤  t_o ≤ t_α/2

·         H_o di tolak jika t_o > t_α/2 atau t_o < – t_α/2

Uji Statistik

Simpangan baku populasi ( σ ) di ketahui :

Simpangan baku populasi ( σ ) tidak di ketahui :

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H_o(sesuai dengan criteria pengujiannya).Kesimpulan

a) Jika H₀ diterima maka H₁ di tolak

b) Jika H₀ di tolak maka H₁ di terima

Contoh soal :

Sebuah sample terdiri atas 15 kaleng susu, memiliki isi berat kotor seperti yang di berikan berikut ini.

( Isi berat kotor dalam kg/kaleng)

1,21                1,21                 1,23                 1,20                 1,21

1,24                1,22                 1,24                 1,21                 1,19

1,19                1,18                 1,19                 1,23                 1,18

Jika di gunakan taraf nyata 1%, dapatkah kita menyakini bahwa populasi cat dalam kaleng rata-rata memiliki berat kotor 1,2 kg/kaleng ? (dengan alternatif tidak sama dengan). Berikan evaluasi anda !

Penyelesaian :

Diketahui :

n = 15, α= 1%,  µ_o = 1,2

Jawab:

∑X   = 18,13

∑X² = 21,9189

X     = 18,13 / 15

= 1,208

Formulasi hipotesisnya :

·         H_o : µ = 1,2

·         H₁ : µ ≠ 1,2

·         Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

·         α       = 1% = 0,01

·         t_α/2  = 0,005 dengan db = 15-1 = 14

·         t_0,005;14 = 2,977

·         Kriteria pengujian :

·         H_o di terima apabila : – 2,977 ≤ t_o ≤ – 2,977

·         H_o di tolak : t_o > 2,977 atau t_o < – 2,977

Uji Statistik

Kesimpulan :

Karena –t_0,005;14 = -2,977 ≤ t_o = 1,52 ≤  t_0,005;14 = – 2,977 maka H_odi terima. Jadi, populasi susu dalam kaleng secara rata-rata berisi berat kotor 1,2 kg/kaleng.

Pengujian Hipotesis Beda Dua Rata-Rata

1.      Sampel besar ( n > 30 )

Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel besar (n > 30), uji statistiknya menggunakan distribusi Z.

Contoh Soal :

Seseorang berpendapat bahwa rata-rata jam kerja buruh di daerah A dan B sama dengan alternatif A lebih besar dari pada B. Untuk itu, di ambil sample di kedua daerah, masing-masing 100 dan 70 dengan rata-rata dan simpangan baku 38 dan 9 jam per minggu serta 35 dan 7 jam per minggu. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5% ! Untuk Varians/ simpangan baku kedua populasi sama besar !

Penyelesaian :

Diketahui :

n₁ =  100                   X1  = 38                        s₁ = 9

n₂ = 70                      X2  = 35                        s₂ = 7

Jawab:

Formulasi hipotesisnya :

·         H_o : µ₁ = µ₂

·         H₁ : µ₁ > µ₂

Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

α       = 5% = 0,05

Z_0,05  = 1,64 (pengujian sisi kanan)

Kriteria pengujian :

·         H_o di terima jika Z_o ≤  1,64

·         H_o di tolak jika Z_o > 1,64

Uji Statistik

Kesimpulan :

Karena Z_o = 2,44 >  Z_0,05 =  1,64 maka H_o di tolak. Jadi, rata-rata jam kerja buruh di daerah A dan daerah B adalah tidak sama.

2.      Sampel kecil ( n ≤ 30 )

Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel kecil (n ≤ 30), uji statistiknya menggunakan distribusi t.

Contoh Soal :

Sebuah perusahan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel sebanyak 12 orang dengan metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir pelatihan di berikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua metode pelatihan, dengan alternative keduanya tidak sama! Gunakan taraf nyata 10%! Asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi normal dengan varians yang sama!

Penyelesaian :

Diketahui :

n₁ =  12            X1 = 80                        s₁ = 4

n₂ = 10             X2 = 75                        s₂ = 4,5

Jawab:

Formulasi hipotesisnya :

·         H_o : µ₁ = µ₂

·         H₁ : µ₁ ≠ µ₂

Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

α        = 10% = 0,10

= 0,05

db       = 12 + 10 – 2 = 20

t_0,05;20 = 1,725

Kriteria pengujian :

·         H_o di terima apabila -1,725 ≤ t₀  ≤  1,725

·         H_o di tolak apabila t₀ > 1,725 atau t₀ < -1,725

Uji Statistik

Kesimpulan

Karena t₀ = 2,76 >  t_0,05_;20 =  1,725 maka H_o di tolak. Jadi, kedua metode yang digunakan dalam pelatihan tidak sama hasilnya.

2.3  Pengujian Hipotesis Proporsi

1.    Pengujian hipotesis satu proporsi

Prosedur pengujian hipotesisnya adalah sbb :

a.       Formulasi hipotesis

1. H₀ : P = P₀

 H₁ : P > P₀

2. H₀ : P = P₀

 H₁ : P < P₀

3. H₀ : P = P₀

 H₁ : P ≠ P₀

b.      Nilai taraf nyata (α) dan nilai tabel

Mengambil nilai α sesuai soal (sesuai kebijakan), kemudian menentukan nilai Zα atau Z_α/2

c.       Kriteria pengujian

1.      Untuk H₀ : P = P₀ dan H₁ : P > P₀ :

·      Ho diterima apabila Zo ≤ Zα

·      Ho ditolak apabila Zo > Zα

2.      Untuk H₀ : P = P₀ dan H₁ : P < P₀ :

·      Ho diterima apabila Zo ≥ - Zα

·      Ho ditolak apabila Zo < - Zα

3.      Untuk H₀ : P = P₀ dan H₁ : P≠ P₀ :

·      Ho diterima apabila – Zα_/2 ≤ Zo ≤ Zα_/2

·      Ho ditolak apabila Zo > Zα_/2 atau Zo < - Zα_/2

d.      Uji statistik

Z₀ =

Atau

Z₀ =

Keterangan :

n = banyaknya ukuran sampel

X = banyaknya ukuran sampel dengan karakteristik tertentu.

e.       Kesimpulan

Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan terhadap Ho.

·         Jika H₀ diterima maka H₁ ditolak

·         Jika H₀ ditolak maka H₁ diterima

Contoh soal :

Seorang kontraktor bahwa 60% rumah – rumah yang baru dibangun dikota X dilengkapi dengan telepon. Apakah anda setuju dengan pernyataan tersebut bila diantara 50 rumah baru yang diambil secara acak terdapat 33 rumah yang menggunakan telepon? Gunakan taraf nyata 10%, dengan alternatif lebih besar dari itu!

Penyelesaian :

n= 50, X=33, Po=60% = 0,60

1. formulasi hipotesisnya:

Ho : P = 0,60

H1 : P > 0,60

2.      Taraf nyata dan nilai Z tabelnya :

α = 10% = 0,1

Z_0.1 = 1.28

3.      Kriteria pengujian:

H₀ diterima apabila Z₀ ≤ 1.28

H₀ ditolak apabila Z₀ > 1.28

4.      Uji statistik

Z₀ =  = 0,87

5.      Kesimpulan :

Karena Z₀ = 0.87,  maka H₀ diterima.

Keputusan 60% rumah baru yang dibangun dikota X dilengkapi dengan telepon dapat diterima (benar).

2. Pengujian hipotesis beda dua proporsi

Prosedur pengujiannya adalah sebagai berikut:

a.       Formulasi hipotesisnya

1.      H₀ : P₁ = P₂

H₁ : P₁ > P₂

2.      H₀ : P₁ = P₂

 H₁ : P₁ < P₂

3.       H₀ : P₁ = P₂

 H₁ : P₁ ≠ P₂

b.      Nilai α (taraf nyata) dan nilai tabel

Mengambil nilai α sesuai soal (sesuai) kebijakan), kemudian menentukan nilai Zα atau Z_α/2

c.       Kriteria pengujian

1.      Untuk H₀ : P₁ = P₂ dan  H₁ : P₁ > P₂

·  H₀ diterima apabila Z₀ ≤ Zα

·  H₀ ditolak apabila Z₀ > Zα

2.      Untuk H₀ : P₁ = P₂ dan H₁ : P₁ < P₂

·  H₀ diterima apabila Z₀ ≥ -Zα

·  H₀ ditolak apabila Z₀ < -Zα

3.      Untuk H₀ : P₁ = P₂ dan H₁ : P₁ ≠ P₂

·  H₀ diterima apabila - Z_α/2 ≤ Z₀ ≤ - Z_α/2

·  H₀ ditolak apabila Z₀ > Z_α/2 atau Z₀ < - Z_α/2

d.      Uji statistik

Z₀ =

P₁ =  dan P₂ =

P =

e.    Kesimpulan

Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan terhadap Ho.

·         Jika H₀ diterima maka H₁ ditolak

·         Jika H₀ ditolak maka H₁ diterima

Contoh soal :

Suatu pemungutan suara akan dilakukan diantara penduduk dikota M dan sekitarnya mengenai pendapat mereka tentang rencna pendirian gedung serba guna ditengah kota. Untuk mengetahui apakh ada perbedaan antara proporsi penduduk kota dan sekitarnya yang menyetujui rencana tersebut. Diambil sebuah sampel acak terdiri dari 200 penduduk kota dan 500 penduduk disekitarnya. Apabila ternyata ada 120 penduduk kot dan 240 penduduk sekitarnya yang setuju, apakah anda setuju jika dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih tinggi daripada penduduk sekitarnya? Gunakan taraf nyata 1% !

Penyelesaian :

n₁ = 200,   X₁ = 120,         n₂ = 500,          X₂ = 240

1.      Formulasi hipotesisnya

H₀ : P₁ = P₂

H₁ : P₁ > P₂

2.      Taraf nyata dan nilai Z tabelnya

α=1% = 0,01

Z_0.01 = 2,33

3.      Kriteria pengujian

H₀ diterima apabila Z₀ ≤ 2,33

H₀ ditolak apabila Z₀ > 2,33

4.      Uji statistik

P₁ =

P₂ =

P =

Z₀ =  = 2,9

5.      Kesimpulan

Karena Zo = 2,9 > Z_0.01 = 2,33, maka Ho ditolak. Jadi, kita setuju dengan pendapat bahwa proporsi penduduk kota yang menyetujui rencana itu lebih besar daripada proporsi penduduk disekitarnya.

2.4  Kesalahan Dalam Pengujian Hipotesis

Dalam menaksir paramater populasi berdasarkan data sampel, kemungkinan akan terdapat dua kesalahan, yaitu : 

1.      Kesalahan Tipe I adalah kesalahan dalam menolak hipotesis Ho yang benar (seharusnya diterima). Dalam hal ini tingkat kesalahan.

2.      Kesalahan Tipe II adalah kesalahan dalam menerima hipotesis yang salah (seharusnya ditolak).

Berikut dapat dilihat tabel hubungan antara keputusan menolak atau menerima Ho :

Keputusan	Keadaan Sebenarnya
	Hipotesis Benar	Hipotesis Salah
Terima Hipotesis	Tidak Membuat Kesalahan	Kesalahan Tipe II
Tolak Hipotesis	Kesalahan Tipe I	Tidak Membuat Kesalahan

Keputusan menerima hipotesis Ho yang benar, berarti tidak terjadi kesalahan.

Keputusan menerima hipotesis Ho yang salah, berarti  terjadi kesalahan tipe II (Beta).

Keputusan menolak hipotesis Ho yang benar, berarti terjadi kesalahan tipe I (Alpha).

Keputusan menolak hipotesis Ho yang salah, berarti tidak terjadi kesalahan.

Tingkat kesalahan ini selanjutnya dinamakan tingkat signifikansi / taraf signifikansi / level of significant (lihat Taraf Significant). Dalam prakteknya tingkat signifikansi

telah ditetapkan oleh peneliti terlebih dahulu. Dalam pengujian hipotesis kebanyakan digunakan kesalahan tipe I yaitu berapa persen kesalahan untuk menolak hipotesis nol yang benar (biasa menggunakan nilai Alpha).

2.3  Pengujian Hipotesis Dengan F (Ratio Varians)

Distribusi F dikembangkan oleh R.A FISHER awal tahun 1920-an. Nama distribusi F diberikan sebagai penghormatan kepadanya.

      Distribusi F memiliki beberapa ciri, yaitu sebagai berikut :

1.      Apabila derajat bebas pembilang dan penyebut lebih besar daripada dua maka kurva dari distribusi F tersebut merupakan kurva yang bermodus tunggal dan condong ke kanan.

2.      Apabila derajat bebas pembilang dan penyebut bertambah, distribusi F cenderung berbentuk normal.

3.      Skala distribusi F mulai dari 0 sampai ˜. F tidak dapat bernilai negatif.

4.      Untuk nilai probabilitas yang sama seperti 1%,  nilai kritis F untuk daerah yang lebih rendah (sisi kiri) adalah berbalikan dengan nilai kritis F untuk daerah yang lebih tinggi (sisi kanan).

   P (f)

                                                                                  f

                        Gambar distribusi F

                        Distribusi F dapat digunakan antara lain untuk pengujian hipotesis mengenai :

1.    Persamaan tiga atau lebih rata-rata populasi yang diperkirakan dengan teknik analisis varians (ANOVA = analysis of variance) dan meliputi :

a.       Analisis varian satu arah

b.      Analisi varian dua arah

2.    Persamaan dua varians populasi yang diperkirakan.

1.      Pengujian Hipotesis Beda Tiga Rata-Rata atau Lebih

Dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu :

a.       Pengujian klasifikasi satu arah

Langkah-langkah pengujian klasifikasi satu arah ialah :

1.      Menentukan formulasi hipotesis

H₀ : µ₁ = µ₂ = ... = µ_k

H₁ : µ₁ ≠ µ₂ ≠ ... ≠ µ_k

2.      Menentukan taraf nyata (α) beserta F tabel

Taraf nyata ditentukan dengan derajat pembilang (ʋ₁ ) dan taraf penyebut (ʋ₂ ). ʋ₁  = k – 1 dan ʋ₂ = k (n – 1). F_α(ʋ1:ʋ2) = ...

3.      Menentukan kriteria pengujian

Ho diterima apabila Fo ≤ F_α(ʋ1:ʋ2)

Ho ditolak apabila Fo > F_α(ʋ1:ʋ2)

 

Daerah tolak

                                    Daerah terima

                                                F_α(ʋ1:ʋ2)

4.      Membuat analisis variansnya dalam bentuk tabel ANOVA

Sumber varians	Jumlah kuadrat	Deraajat bebas	Rata-rata kuadrat	F0
Rata – rata kolom Error	JKK JKE	k-1 k(n-1)
Total	JKT	Nk-1

K = kolo, , n = baris

Derajat bebas error = N – k

N = Jumlah sampel

Selain menggunakan table Anova, analisi varians dapat juga dilakukan secara langsung dengan menngunakan langkah-langkah berikut :

1)      Menentukan rata-rata sampel (rata-rata kolom)

2)      Menentukan varians sampel

3)      Menentukan rata-rata varians sampel

4)      Menenntukan varians rata-rata sampel

5)      Membuat kesimpulan H₀ diterima atau ditolak dengan membandingkan antara langkah ke-4 dengan criteria pengujian pada langkah ke-3

Contoh soal :

1.       Sebanyak 25 orang diberi jenis tablet sakit kepala untuk mengurangi rasa sakit. Ke-25 orang tersebut dibagi dalam 5 kelompok secara random dan masing-masing kelompok diberi satu jenis tablet. Penelitian dilakukan untuk melihat rata-rata lama setiap tablet dalam mengurangi rasa sakit. Data nya sebagai berikut.

2.      TABEL 5.3 PENGARUH JENIS TABLET TERHADAP LAMA PENGURANGAN RASA SAKIT.

	Tablet
	A	B	C	D	E
	5 4 8 6 3	9 7 8 6 9	3 5 2 3 7	2 3 4 1 4	7 6 9 4 7
Jumlah	26	39	20	14	33

Ujilah dengan menggunakan taraf nyata 5%, bahwa rata-rata lama (dalam menit) tablet mengurangi rasa sakit adalah sama!

Penyelesaian :

1.      Formulasi hipotesis :

: sekurang-kurangnya dua rata-rata tidak sama

2.      Taraf nyata (α) dan nilai F table :

α = 5% = 0,05 dengan             v_{1 =} 5 -1 = 4

                                    v₂ = 5(5-1) = 20

F_0,05(4;20) = 2,87

3.      Criteria pengujian :

H₀ diterima apabila : F₀ ≤ 2,87

H₀ ditolak apabila : F₀  > 2,87

4.      Analisis Varians

n = 5               k = 5

n₁ = 5  n₂ = 5  n₃ = 5  n₄ = 5  n₅ = 5                          N = 5

T₁ = 26            T₂ = 39            T₃ =20 T₄ = 14            T₅ = 33                                    T = 132

Tabel ANOVA

SV	JK	db	RK	F0
Rata-rata Kolom Error	79,44 57,6	4 20	19,86 2,88	6,90
Total	137,04	24

5.      Kesimpulan

Karena F₀ = 6,90 > F_{0,05(4;20) =} 2,87, maka H₀  ditolak. Jadi rata-rata lamanya obat tersebut mengurangi rasa sakit tidak sama untuk kelima jenis tablet sakit kepala tersebut.

a.       Pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi

Pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi merupakan pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan interaksi antara kedua faktor tersebut ditiadakan.

Langkah-langkah pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi ialah sebagai berikut.

1.      Menentukan formulasi hipotesis

a.       H₀ : α₁ = α₂ = α₃ = …. = 0 (pengaruh baris nol)

H_{1 :} Sekurang-kurangnya satu α_i tidak sama dengan nol

b.      H₀ : β₁ = β₂ = β₃ = . . . = 0 (pengaruh kolom nol)

H₁ : sekurang-kurangnya satu β_j tidak sama dengan nol

2.      Menentukan taraf nyata (α) dan F tabelnya

Taraf nyata (α) dan F table ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut masing-masing :

a.       Untuk baris : v₁ = b – 1 dan v₂ =(k – 1)(b-1)

b.       Untuk kolom :  v₁ = k – 1 dan v₂ = (k-1)(b-1)

3.      Menentukan criteria pengujian

a.       H₀ diterima apabila F₀ ≤ F_α(v1;v2)

H₀ ditolak apabila F₀ > F_α(v1;v2)

b.      H₀ diterima apabila F₀ ≤ F_α(v1;v2)

H₀ ditolak apabila F₀ > F_α(v1;v2)

4.      Membuat analisis varians dalam bentuk table ANOVA

Sumber Varians	Jumlah Kuadrat	Derajat Bebas	Rata-rata Kuadrat	F0
Rata-rata Baris Rata-rata kolom Error	JKB JKK JKK	b – 1 k – 1 (k – 1)(b – 1)
Total	JKT	kb - 1

5.      Membuat kesimpulan

Menyimpulkan H₀  diterima atau ditolak dengan membandingkan antara langkah ke-4 dengan criteria pengujian pada langkah ke-3

Contoh soal :

Pengujian Klasifikasi dua arag Hengan interaksi

Pengujian lasifikasi dua arah dengan interaksi merupakan pengujian beda tiga rata-rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan pengaruh interaksi antara kedua faktor tersebut diperhitungkan.

Langkah – langkah pengujian klasifikasi dua arah dengan interaksi ialah sebagai berikut,

1)      Menentukan formulasi hipotesis

a.      H₀ : α₁ = α₂ = α₃ = …. = α_b = 0

       H_{1 :} Sekurang-kurangnya satu α_i ≠ 0

b.      H₀ : β₁ = β₂ = β₃ = . . . = β₃ =  0

       H₁ : sekurang-kurangnya satu β_j ≠ 0

c.       H₀  : (αβ)₁₁ = (αβ)₁₂ = (αβ)₁₃ = ….. = (αβ)_bk = 0

H_{1 :} Sekurang-kurangnya satu (αβ)_ij  ≠ 0

2)      Menentukan taraf nyata (α) dan F Tabel

taraf nyata (α) dan F Tabel ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut masing-masing :

a)      Untuk baris : v₁ = b – 1 dan v₂ = kb (n – 1)

b)      Untuk kolom : v₁= k - 1 dan v₂ = kb (n – 1)

c)      Untuk interaksi : v₁ = (k – 1)(b – 1) dan v₂ = kb (n – 1)

3)      Menentukan criteria pengujian

a.      Untuk baris :

H0 diterima apabila F0 ≤ Fα(v1:v2)

H0 ditolak apabila F0 > Fα(v1:v2)

b.      Untuk kolom :

H0 diterima apabila F0 ≤ Fα(v1:v2)

H0 ditolak apabila F0 > Fα(v1:v2)

c.       Untuk interaksi :

H0 diterima apabila F0 ≤ Fα(v1:v2)

H0 ditolak apabila F0 > Fα(v1:v2)

4)      Membuat analisis varians dalam bentuk table ANOVA

Sumber Varians	Jumlah Kuadrat	Derajat Bebas	Rata-rata Kuadrat	F0
Rata-rata baris Rata-rata kolom Interaksi Error	JKB JKK JKI JKE	b -1 k – 1  (b – 1)(k -1) bk(n – 1)
Total	JKT	bkn - 1

b = baris, k = kolom, n= ulangan, percobaan

5)      Membuat kesimpulan

Menyimpulkan H₀ diterima atau ditolak dengan membandingkan antara langkah ke-4 dengan criteria pengujian pada langkah ke-3

2. Pengujian Hipotesi Beda Dua Varians

Pengujian hipotesis dua varians yang merupakan pengujian varians dua populasi adalah sama. Untuk maksud tersebut, dari masing-masing populasi diambil sampel random, kemudian di hitung variansnya  dan  merupakan penduga dari  dan

Rumus variansnya :

Keterangan :

  = Varians dari sampel 1 dengan  individu

 = Varians dari sampel 2 dengan  individu

Langkah-langkah pengujian hipotesis tentang dua varians ialah sebagai berikut

a.    Menemukan formulasi hipotesis

1)   H0 :  =

H1 :  >

2)   H0 :  =

H1 :  <

3)   H0 :  =

H1 :  ≠

b.    Menentukan taraf nyata (α) dan F tabel

taraf nyata (α) dan F table ditentukan dengan derajat bebas pembilang dan penyebut masing-masing :

v₁ = n₁ – 1            dan      v₂ = n₂ – 1  

c.    Menentukan criteria pengujian

1)   Ho diterima apabila F₀ < F_α(v1:v2)

Ho ditolak apabila F₀ ≥ F_α(v1:v2)

2)   Ho diterima apabila F₀ > F_{α(1-α)(v1:v2)}

Ho ditolak apabila F₀ ≤ F_{α(1-α)(v1:v2)}

3)   Ho diterima apabila

Ho ditolak apabila  atau F₀ <

d.   Uji statistik

·        

e.    Kesimpulan

Menyimpulkan H₀  diterima atau ditolak.

Catatan

1.   

2.    Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis H₀ adalah